1点からの半径検索は、Google 投影に変換してから検索するのがベストプラクティス？ -- 第2回: Google Mercator 投影の縮尺係数 --
Google Mercator 投影上でのユークリッド距離に (135, 35) での縮尺係数を掛けることで周辺との距離を計算したとき、大圏距離とどのくらいの違いが発生するのかを検証してみましょう。
とりあえず Mercator 座標系で話を進めます
d:id:hfu:20080128 では、いわゆる Google 座標系を導入しましたが、当面の話を簡単にするために、Google 座標系ではなくて Marcetor 座標系で話を進めていきたいと思います。
Mercator 座標系の EPSG コードは EPSG:41001。Google 座標系と Mercator 座標系との違いは、Google 座標系は地球を球とみなすが、Mercator 座標系は地球を楕円体とみなすことです。
Mercator 座標系でのユークリッド距離を、距離計測始点での縮尺係数で換算し、表を出力するスクリプト
# geotools.rb を使う require 'geotools' # 経緯度座標系 wgs84 = Geo::import_epsg_crs(4326) # Mercator 座標系 mercator = Geo::import_epsg_crs(41001) # 経緯度座標系から Mercator 座標系への変換 tr = Geo::Transform.new(wgs84, mercator) # Mercator 座標系から経緯度座標系への変換 itr = Geo::Transform.new(mercator, wgs84) # Geotools 提供の測地計算器。大圏距離を計算してくれる。 gc = Geo::Tools::GeodeticCalculator.new # 縮尺係数を計算するための「微小変位」。ツッコミどころかもしれない。 dx = 1 dy = 1 # 原点 P から Mercator 座標系で (dx, dy) だけずれた点 Q の経緯度を算出する。 p_wgs84 = Geo::import_wkt_geometry('POINT(135 35)') p_mercator = tr.transform(p_wgs84) p_mercator.apply(Geo::Tools::AffineTransformation.translationInstance(dx, dy)) q_wgs84 = itr.transform(p_mercator) # PQ 間の大圏距離を計算する。GeodeticCalculator にはグッドラッパーが必要だ。 gc.setStartingGeographicPoint(p_wgs84.getX, p_wgs84.getY) gc.setDestinationGeographicPoint(q_wgs84.getX, q_wgs84.getY) d = gc.getOrthodromicDistance # 地形やジオイドは考慮していないということだ。楕円体上。 # Mercator 座標系上の距離を大圏距離に変換するという意味での縮尺係数を算出 scale_factor = d / Math.sqrt(dx ** 2 + dy ** 2) p_wgs84 = Geo::import_wkt_geometry('POINT(135 35)') p_mercator = tr.transform(p_wgs84) print "|方位角|大圏距離|メルカトル座標系上の距離|縮尺係数で換算|大圏距離と換算距離の差|差の大圏距離に対する比|\n" -180.step(170, 10) do |azimuth| 1.upto(5) do |p| d_orthodromic = 3 * 10 ** p gc.setDirection(azimuth, d_orthodromic) q = gc.getDestinationGeographicPoint q_wgs84 = Geo::import_wkt_geometry("POINT (#{q.getX} #{q.getY})") q_mercator = tr.transform(q_wgs84) d_mercator = Math.sqrt((p_mercator.getX - q_mercator.getX) ** 2 + (p_mercator.getY - q_mercator.getY) ** 2) print "|#{azimuth}度|#{d_orthodromic}m|#{d_mercator}m|#{(d_mercator * scale_factor)}m|#{(d_orthodromic - d_mercator * scale_factor)}m|#{sprintf('%.6f', (d_orthodromic - d_mercator * scale_factor) / d_orthodromic * 100.0)}%|\n" end end
評価結果
評価結果は、次の表のとおりになります。3km 範囲の検索をしたときに、距離の歪み 0.02% 以下になるようです。歪みの大きさの評価についてはあとで書くことにします。また、方位角によって歪みの大きさが大きく異なっているようですので、この対策についてもあとで書くことにします。
| 方位角 | 大圏距離 | メルカトル座標系上の距離 | 縮尺係数で換算 | 大圏距離と換算距離の差 | 差の大圏距離に対する比 |
| -180度 | 30m | 36.582826043944806m | 29.999948446852827m | 5.1553147173422076e-5m | 0.000172% |
| -180度 | 300m | 365.8228448405862m | 299.99504337678565m | 0.0049566232143547495m | 0.001652% |
| -180度 | 3000m | 3657.687129424885m | 2999.5065221492437m | 0.4934778507563351m | 0.016449% |
| -180度 | 30000m | 36522.97651944356m | 29950.868513896057m | 49.131486103942734m | 0.163772% |
| -180度 | 300000m | 360069.99751058966m | 295277.389166168m | 4722.610833832005m | 1.574204% |
| -170度 | 30m | 36.58282695844624m | 29.999949196794777m | 5.080320522310444e-5m | 0.000169% |
| -170度 | 300m | 365.8229362623194m | 299.99511834768265m | 0.0048816523173513815m | 0.001627% |
| -170度 | 3000m | 3657.6962609767374m | 2999.5140105287496m | 0.4859894712503774m | 0.016200% |
| -170度 | 30000m | 36523.8802584742m | 29951.609630077077m | 48.39036992292313m | 0.161301% |
| -170度 | 300000m | 360151.57307298976m | 295344.28565643873m | 4655.714343561267m | 1.551905% |
| -160度 | 30m | 36.58282967682914m | 29.99995142601968m | 4.857398031887783e-5m | 0.000162% |
| -160度 | 300m | 365.82320774285813m | 299.99534097679714m | 0.004659023202862045m | 0.001553% |
| -160度 | 3000m | 3657.7233787939367m | 2999.5362486444433m | 0.46375135555672387m | 0.015458% |
| -160度 | 30000m | 36526.56495108308m | 29953.811227071394m | 46.18877292860634m | 0.153963% |
| -160度 | 300000m | 360394.62583034555m | 295543.6024118414m | 4456.397588158608m | 1.485466% |
| -150度 | 30m | 36.58283411377493m | 29.99995506456157m | 4.493543843153702e-5m | 0.000150% |
| -150度 | 300m | 365.82365101890286m | 299.9957044877646m | 0.004295512235387378m | 0.001432% |
| -150度 | 3000m | 3657.7676625335043m | 2999.572563769537m | 0.42743623046317225m | 0.014248% |
| -150度 | 30000m | 36530.95171931241m | 29957.408620574297m | 42.59137942570305m | 0.141971% |
| -150度 | 300000m | 360794.1065160251m | 295871.19875340076m | 4128.801246599236m | 1.376267% |
| -140度 | 30m | 36.58284012828042m | 29.999959996789997m | 4.000321000319218e-5m | 0.000133% |
| -140度 | 300m | 365.8242526162404m | 299.99619783098234m | 0.003802169017660617m | 0.001267% |
| -140度 | 3000m | 3657.827770148541m | 2999.6218553510616m | 0.37814464893835975m | 0.012605% |
| -140度 | 30000m | 36536.911409693785m | 29962.29589757104m | 37.70410242896105m | 0.125680% |
| -140度 | 300000m | 361341.5142734201m | 296320.10350672767m | 3679.896493272332m | 1.226632% |
| -130度 | 30m | 36.5828472897612m | 29.999965869601844m | 3.4130398155696184e-5m | 0.000114% |
| -130度 | 300m | 365.82499426574935m | 299.99680602475627m | 0.0031939752437324387m | 0.001065% |
| -130度 | 3000m | 3657.901880495991m | 2999.6826299506024m | 0.3173700493975957m | 0.010579% |
| -130度 | 30000m | 36544.26802779705m | 29968.32873285763m | 31.671267142370198m | 0.105571% |
| -130度 | 300000m | 362024.7900715425m | 296880.42759689037m | 3119.5724031096324m | 1.039857% |
| -120度 | 30m | 36.58285613824323m | 29.99997312584838m | 2.6874151618727637e-5m | 0.000090% |
| -120度 | 300m | 365.82585345485177m | 299.9975106075227m | 0.002489392477286856m | 0.000830% |
| -120度 | 3000m | 3657.9877474036775m | 2999.753045582265m | 0.24695441773519633m | 0.008232% |
| -120度 | 30000m | 36552.803480249604m | 29975.32827775992m | 24.67172224008027m | 0.082239% |
| -120度 | 300000m | 362828.21015032096m | 297539.276667642m | 2460.7233323580003m | 0.820241% |
| -110度 | 30m | 36.58286564763317m | 29.999980924076098m | 1.9075923901823444e-5m | 0.000064% |
| -110度 | 300m | 365.8268040832807m | 299.99829017561365m | 0.0017098243863529206m | 0.000570% |
| -110度 | 3000m | 3658.08276705705m | 2999.8309669735536m | 0.16903302644641371m | 0.005634% |
| -110度 | 30000m | 36562.26355342039m | 29983.086062986407m | 16.91393701359266m | 0.056380% |
| -110度 | 300000m | 363732.32090868306m | 298280.6976860326m | 1719.302313967375m | 0.573101% |
| -100度 | 30m | 36.58287577923371m | 29.999989232551048m | 1.0767448952009318e-5m | 0.000036% |
| -100度 | 300m | 365.82781727357263m | 299.9991210479057m | 8.78952094296892e-4m | 0.000293% |
| -100度 | 3000m | 3658.184055944731m | 2999.914029485045m | 0.08597051495507912m | 0.002866% |
| -100度 | 30000m | 36572.36502061087m | 29991.369826919465m | 8.630173080535315m | 0.028767% |
| -100度 | 300000m | 364713.96590687684m | 299085.7010858123m | 914.2989141877042m | 0.304766% |
| -90度 | 30m | 36.58288623025002m | 29.999997802964668m | 2.197035332329733e-6m | 0.000007% |
| -90度 | 300m | 365.8288622192499m | 299.9999779613768m | 2.2038623171738436e-5m | 0.000007% |
| -90度 | 3000m | 3658.288539921951m | 2999.9997121473507m | 2.8785264930775156e-4m | 0.000010% |
| -90度 | 30000m | 36582.803737588634m | 29999.93015440231m | 0.0698455976889818m | 0.000233% |
| -90度 | 300000m | 365746.4616405188m | 299932.4049119094m | 67.59508809057297m | 0.022532% |
| -80度 | 30m | 36.58289668105391m | 30.00000637320409m | -6.373204090692752e-6m | -0.000021% |
| -80度 | 300m | 365.8299071648335m | 300.0008348747711m | -8.348747711011129e-4m | -0.000278% |
| -80度 | 3000m | 3658.393044996683m | 3000.085412110788m | -0.08541211078818378m | -0.002847% |
| -80度 | 30000m | 36593.26354159784m | 30008.507774421698m | -8.507774421697832m | -0.028359% |
| -80度 | 300000m | 366799.97939921624m | 300796.347965702m | -796.3479657020071m | -0.265449% |
| -70度 | 30m | 36.58290680454814m | 30.000014675031416m | -1.4675031415833928e-5m | -0.000049% |
| -70度 | 300m | 365.8309203677581m | 300.00166575742264m | -0.001665757422642855m | -0.000555% |
| -70度 | 3000m | 3658.4943951492846m | 3000.168524862916m | -0.16852486291600144m | -0.005617% |
| -70度 | 30000m | 36603.42572673477m | 30016.841330441923m | -16.841330441922764m | -0.056138% |
| -70度 | 300000m | 367842.183391157m | 301651.0131026099m | -1651.013102609897m | -0.550338% |
| -60度 | 30m | 36.58291631088766m | 30.00002247075762m | -2.24707576208516e-5m | -0.000075% |
| -60度 | 300m | 365.831871056031m | 300.00244537458894m | -0.00244537458894456m | -0.000815% |
| -60度 | 3000m | 3658.5895074472965m | 3000.2465222279525m | -0.24652222795248235m | -0.008217% |
| -60度 | 30000m | 36612.97882597209m | 30024.67540220781m | -24.675402207809384m | -0.082251% |
| -60度 | 300000m | 368839.1580399093m | 302468.58766695496m | -2468.5876669549616m | -0.822863% |
| -50度 | 30m | 36.58292464888138m | 30.0000293083754m | -2.9308375399494935e-5m | -0.000098% |
| -50度 | 300m | 365.8327303398722m | 300.0031500350465m | -0.0031500350464739313m | -0.001050% |
| -50度 | 3000m | 3658.675488341146m | 3000.3170313345972m | -0.31703133459723176m | -0.010568% |
| -50度 | 30000m | 36621.628393164734m | 30031.768527532662m | -31.76852753266212m | -0.105895% |
| -50度 | 300000m | 369756.62855747563m | 303220.96442963136m | -3220.9644296313636m | -1.073655% |
| -40度 | 30m | 36.582932319352516m | 30.000035598587598m | -3.559858759771828e-5m | -0.000119% |
| -40度 | 300m | 365.8334721141886m | 300.0037583311695m | -0.003758331169478879m | -0.001253% |
| -40度 | 3000m | 3658.749720123164m | 3000.377905517226m | -0.37790551722582677m | -0.012597% |
| -40度 | 30000m | 36629.1064510458m | 30037.900950179428m | -37.90095017942804m | -0.126337% |
| -40度 | 300000m | 370561.43930709816m | 303880.95392768556m | -3880.953927685565m | -1.293651% |
| -30度 | 30m | 36.58293833318203m | 30.000040530261685m | -4.053026168548968e-5m | -0.000135% |
| -30度 | 300m | 365.83407380967924m | 300.0042517548781m | -0.004251754878112024m | -0.001417% |
| -30度 | 3000m | 3658.809941678113m | 3000.427290535805m | -0.4272905358047865m | -0.014243% |
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